已知函数f(x)定义在[-1,1],且满足① f(1)=1;②f(-x)=-f(x);③m,n∈[-1,1]，m+n不等于0

解：
由函数的定义域[-1,1]，②f(-x)=-f(x)可判断f(x)在[-1,1]上为奇函数.
因为奇函数关于原点对称，故f(-1)=-f(1)=-1.
又此题f(x)的定义域为[-1,1]，没有除去0点，故函数图像过原点，所以f(0)=0.

由条件③有f（x+0.5）+f[-1/(x+1)]/[x+0.5-1/(x+1)]＞0…⑴

由f（x+0.5）＜f[1/(x+1)]有：f（x+0.5）-f[1/(x+1)]＜0
又奇函数f(x)，从而：f（x+0.5）+f[-1/(x+1)]＜0…⑵

故要满足⑴，且f（x+0.5）+f[-1/(x+1)]＜0，故x+0.5-1/(x+1)＜0…⑶

解这个不等式就要注意了！

由函数f(x)定义为[-1,1]，得函数f(x+0.5)定义域：-1≤x+0.5≤1,即-1.5≤x≤0.5…⑷

函数f[1/(x+1)]的定义域：-1≤1/(x+1)≤1，即：|1/(x+1)|≤1,解得：x≤-2或x≥0…⑸

由⑷⑸得0≤x≤0.5，从而不等式⑶可化为（x+0.5)(x+1)＜1,解得：
（-3-√17）/4＜x＜（-3+√17）/4，再综合0≤x≤0.5
得：0≤x＜（-3+√17）/4.

f(x+0.5)-f(1/x+1)<0
即f(x+0.5)+f(-1/x+1)<0 （f(-x)=-f(x)）
因为[f（m）+f（n）]/（m+n）>0
所以[f(x+0.5)+f(-1/x+1)]/(x+0.5-1/x+1)>0
又因为f(x+0.5)+f(-1/x+1)<0
故x+0.5-1/x+1<0
得x=
又因为m,n∈[-1,1]，且m+n不等于0。由x+0.5，1/(x+1)∈[-1,1]，且x+0.5+1/(x+1）不等于零，可确定x取值范围，在对上面求出的x值进行取舍。